Kirill Pankratov (neznaika_nalune) wrote,
Kirill Pankratov
neznaika_nalune

Category:

Эллипсы мироздания

Любопытный пост:
У меня была когда-то книжка Перельмана, где с точки зрения геометрии разбирался рассказ Толстого "Сколько человеку земли нужно?" про жадного мужика Пахома.

За тысячу рублев башкирцы обещали ему столько земли, сколько Пахом обежит за фиксированное время Т. Как надо бежать Пахому, если он двигается с постоянной скоростью V, чтобы получить наибольшую площадь? Это переформулировка изопериметрической задачи: Пахом должен двигаться по окружности. Но, положим, Пахом завел самолет и летит на нем со скоростью V относительно воздуха; при этом дует постоянный ветер со скоростью W. Как надо лететь жадному Пахому? Это задача Чаплыгина,
https://en.wikipedia.org/wiki/Chaplygin_problem
и она решается в лоб применением вариационного исчисления. Оптимальная траектория - эллипс с эксцентриситетом e=W/V. Если W=0, получаем круг (как для пешего Пахома), чем выше скорость ветра, тем более вытянут эллипс.

Удивительно не это. Пахом двигался бы в точности как планета по кеплеровой орбите, на которую действует центральная сила, пропорциональная V. Хотя задача Чаплыгина решена много лет назад, кеплерово движение было замечено только в 1995-м году. Каждому орбитальному параметру задачи Кеплера есть аналог задачи Чаплыгина (см. Таблицу 1 в статье); соблюдаются все законы Кеплера.

...The analogies resulting from the identical results of the Chaplygin problem and the Kepler problem have been used to cast the former into Kepler formalism, and the latter into Chaplygin formalism, with the result that Chaplygin's problem can be looked upon as an inverse square central force problem, and that Kepler's problem can be presented as an isoperimetric variational problem. http://www.uni-magdeburg.de/ifme/zeitschrift_tm/1995_Heft4/Rimrott_Szczygielski.pdf

Если бы это было известно во времена Ньютона, вместо универсального закона тяготения какой-нибудь не измышляющий гипотез мудрец ввел бы закон всеобщей небесной шкурности: планеты двигаются с постоянной скоростью относительно эфира так, чтобы отхватить как можно больше эфира за орбитальный период. В солнечной системе сквозняк, орбиты из-за этого вытянуты в эллипс. Тяготение не сила, а геометрическое следствие планетной жадности.

http://shkrobius.livejournal.com/551256.html

Эллипсы и эллипсоиды - очень распространённая геометрическая форма во Вселенной. Если круг и шар - форма точного равновесия в огромном числе процессов, от субатомных до галактических, то эллипс и эллипсоид - то что получается если круг или шар немного подёргать, наложить внешнее воздействие, например, когда внутренне равновесные обьекты ещё взаимодействуют между собой - отклонение от круга и шара в первом приближении. Траектории планет и других небесных тел, типичная форма самих галактик, общая форма самой Вселенной, и, двигаясь в меньшие масштабы, долгоживущие вихри в атмосферах звёзд и планет - солнечные пятна, "Красное пятно" Юпитера (и бесчисленные подобные образования более мелких масштабов в атмосферах газовых гигантов), атмосферные ураганы и циклоны, ринги Гольфстрима и другие океанские вихри, пузыри и эмульсионные капли и многое чего ещё - везде эллипсы и эллипсоиды.

Вспоминаю в этой связи свою первую научную работу, которая имеет прямое отношение как к эллипсам/эллипосидам, так и к упомянутому выше Чаплыгину.

Речь идёт об обобщении очень красивого результата в двумерной гидромеханике - динамике эллиптического вихря с постоянной завихренностью (ротором скорости) внутри - на трёхмерную, эллипсоидальную, форму значительно более применимую к крупномасштабным движениям в атмосфере и океане (для Земли - от десятков до тысяц километров) чем чисто двумерные модели.

Эта работа дала начало целому направлению, хоть и небольшому, в океанографии и гидромеханике. Из вступления в недавней обзорной статье по этой тематике:
The Ellipsoidal Vortex: A Novel Approach to Geophysical Turbulence
...The extension of these early works to the three-dimensional case of an ellipsoidal vortex had to wait almost a century for the works of Zhmur and Pankratov [8, 9] and Meacham [10] who extended this approach to the quasigeostrophic system [11], a set of equations relevant to large scale geophysical fluid dynamics...

Начало этого можно отсчитывать с первых работ таких известных имён как Киргхоф, Ламб и Чаплыгин в конце XIX века по эллиптическим вихрям. В частности, Чаплыгин получил наиболее полное для того периода решение - точное аналитическое, нестационарное решение в двумерной гидромеханике без вязкости - для вихревого пятна эллиптической формы с постоянной завихренностью. Такой вихрь во внешнем течении с постоянным градиентом скорости может пульсировать меняя свою эксцентричность (соотношение главных осей) и угол наклона к градиенту течения. Если течения нет, эллипс вращается вокруг вертикальной оси с постоянной скоростью и не меняя формы. При этом движение не твердотельное, сама вода внутри вихря вращается быстрее чем его внешняя форма.

В 1981 вышла получившая широкую известность работа японца Шигео Киды, в которой он фактически повторил подзабытые или малоизвестные результаты Чаплыгина и развил их дальше - для всё того же эллиптического вихря.

В 1988 я был на 6-м курсе физтеха и мой руководитель Владимир Жмур предложил в качестве дипломной работы посмотреть, нельзя ли обобщить чисто двумерный результат Киды на квази-геострофическую модель, намного более применимую к реальной атмосфере и океану. Модель заключается в том что (очень кратко), вертикальная скорость пренебрежимо мала (т.е. вектор скорости двумерный), но сами скорости могут зависеть от z-координаты и все формы могут быть трёхмерными.

Мы решили попробовать эллипсоидальную форму вместо эллиптической. Я поигрался с весьма непростыми уравнениями, интегралами, и неожиданно... получилось. Я получил аналитическое решение для эволюции такого элипсоидального вихря во внешнем течении с постоянным градиентом, не зависящим от z-координаты. Без течения такой вихрь вращался без изменения формы, так же как и двумерный, но с изменёнными параметрами. В течении такой вихрь может пульсировать изменяя свою форму и вращаться с колеблющейся угловой скоростью. Если градиент внешнего течения сильный, он может растягиваться в бесконечную нитку (типичный переход эллиптического решения в гиперболическое). Параметры вращения и колебаний высчитываются через одномерные интегралы, а динамика в присутствии течения с градиентом описывается обыкновенными дифуравнениями.

В общем, решение очень непростое, но очень красивое. Получить в наше время релевантное к природе аналитическое решение в гидродинамике, тем более трёхмерное и нестационарное - очень большая и редкая удача, такое во всём мире случается не каждый год.

Потом мы привлекли к работе над этим моего друга и одногрупника Щепёткина, очень способного, но у которого был кризис с его собственным научруком. Потом мы узнали что независимо от нас похожее решение было получено англичанином Стивом Мичемом находящимся тогда в MIT. Его работа примено на год отставала от нашей по времени. Потом, в конце 1990-го я сам оказался в MIT. Мы не стали спорить с Мичемом о приоритете, вместо это обьединили усилия и написали несколько статей по теме со всеми 4-мя авторами. Было сделано много дальнейших обобщений, в частности на течение как с горизонтальным так и вертикальным градиентом, и на форму эллипсоида повёрнутую к вертикальной оси. В последующие годы этой тематикой занимались (и продолжают) десятки других людей.

Я уже давно в этом ничего не понимаю.
Subscribe

  • "Going postal" - Кучно пошло

    Очередные пострелушки - теперь в Индианаполисе, в офисе Fedex, 8 убитых.…

  • Апрельская зима по расписанию

    16 апреля 2021 - более 10 см снега. Повторяется прошлогодняя история почти день в день, тогда было 18 апреля. И примерно так почти каждый год в…

  • Байденские - 2

    Политика США зарабатывает на дозу сыну президента Байдена - вполне подходящий заголовок, по мотивам по мотивам публикации в британской Daily Mail.…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 12 comments

  • "Going postal" - Кучно пошло

    Очередные пострелушки - теперь в Индианаполисе, в офисе Fedex, 8 убитых.…

  • Апрельская зима по расписанию

    16 апреля 2021 - более 10 см снега. Повторяется прошлогодняя история почти день в день, тогда было 18 апреля. И примерно так почти каждый год в…

  • Байденские - 2

    Политика США зарабатывает на дозу сыну президента Байдена - вполне подходящий заголовок, по мотивам по мотивам публикации в британской Daily Mail.…